Wprowadzenie do geometrii różniczkowej - z wykorzystaniem rachunku tensorowego

Oryginalny tytuł:

An Introduction to Differential Geometry - With the Use of Tensor Calculus

Zawartość książki:

AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY WITH USE OF THE TENSOR CALCULUS By LUTHER PFAHLER EISENHART. Przedmowa: Od 1909 roku, kiedy opublikowano moją Geometrię Różniczkową Krzywych i Powierzchni, rachunek tensorowy, który wcześniej został wynaleziony przez Ricciego, został przyjęty przez Einsteina w jego Ogólnej Teorii Względności i był dalej rozwijany w badaniach Geometrii Riemannowskiej i różnych uogólnieniach tej ostatniej. W niniejszej książce rachunek tensorowy 3-przestrzeniuklidesowej został rozwinięty, a następnie uogólniony tak, aby można go było zastosować do przestrzeni riemannowskiej o dowolnej liczbie wymiarów. Rozwinięty tutaj rachunek tensorowy jest zastosowany w rozdziałach III i IV do badania geometrii różniczkowej powierzchni w 3-przestrzeni, przy czym traktowany materiał jest równoważny temu, co pojawia się ogólnie w pierwszych ośmiu rozdziałach mojej poprzedniej książki, z takimi dodatkami, jakie wynikają z wprowadzenia pojęcia równoległości Levi-Civita i treści rachunku tensorowego. LUTHER PFAHLER EISENHART. Treść obejmuje: ROZDZIAŁ I KRZYWE W PRZESTRZENI STRONA 1. Krzywe i powierzchnie. Konwencja sumowania 1 2. Długość krzywej. Element liniowy, 8 3. Styczna do krzywej. Kolejność styczności. Płaszczyzna obrotu 11 4. Krzywizna. Główna normalna. Okrąg krzywizny 16 5. Normalna TBi. Skręcenie 19 6r Wzory Freneta. Kształt krzywej w sąsiedztwie punktu 25 7. Równania wewnętrzne krzywej 31 8. Inwoluty i ewoluty krzywej 34 9.

Powierzchnia styczna do krzywej. Powierzchnia biegunowa. Oscylująca sfera. 38 10. Równania parametryczne powierzchni. Współrzędne i krzywe współrzędnych trT powierzchni 44 11. 1 Płaszczyzna styczna do powierzchni 50 tSffPowierzchnie rozwijalne. Obwiednia jednoparametrowej rodziny powierzchni.... 53 ROZDZIAŁ II TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH. RACHUNEK TENSOROWY 13. Transformacja współrzędnych. Współrzędne krzywoliniowe 63 14. Fundamentalna forma kwadratowa przestrzeni 70 15. Wektory niezmiennicze. Skalary 74 16. Długość wektora kontrawariantnego. Kąt między dwoma wektorami 80 17. Wektory kowariantne. Stałe i kowariantne składowe wektora 83 18. Tensory. Tensory symetryczne i skośnie symetryczne 89 19. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie tensorów. Kontrakcja.... 94 20. Symbole Christoffela. Tensor Riemanna 98 21. Wzory Freneta we współrzędnych ogólnych 103 22. Różniczkowanie kowariantne 107 23. Układy równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu. Układy mieszane 114 ROZDZIAŁ III GEOMETRIA WEWNĘTRZNA POWIERZCHNI 24. Element liniowy powierzchni. Pierwsza podstawowa forma kwadratowa powierzchni. Wektory na powierzchni 123 25. Kąt dwóch krzywych przecinających się na powierzchni. Element powierzchni 129 26. Rodziny krzywych na powierzchni. Kierunki główne 138 27. Wewnętrzna geometria powierzchni. Powierzchnie izometryczne 146 28. Symbole Christoffela dla powierzchni. Riemannowski tensor krzywizny. Gaussowska krzywizna powierzchni 149 29.

Parametry różnicowe 155 30. Izometryczne siatki ortogonalne. Współrzędne izometryczne 161 31...