Classification Theory for Abstract Elementary Classes: Volume 2
Abstrakcyjna klasa elementarna (AEC) jest klasą struktur o ustalonym słownictwie, spełniającą pewne naturalne własności domknięcia. Klasy te obejmują normalne klasy zdefiniowane w teorii modeli, a naturalne przykłady wynikają z praktyki matematycznej, np.
w algebrze, nie wspominając o logikach pierwszego rzędu i nieskończonych. AEC jest zawsze obdarzona specjalną relacją podstruktury, która nie zawsze jest oczywista. Abstrakcyjne klasy elementarne stanowią jedną z dróg wyjścia z pułapki teorii modeli języków nieskończonych, która powstała w wyniku nadmiernej koncentracji na kryteriach syntaktycznych.
Jest to drugi tom dwutomowej monografii poświęconej abstrakcyjnym klasom elementarnym.
Jest ona dość samodzielna i dotyczy trzech odrębnych zagadnień. Pierwszym z nich jest temat klas uniwersalnych, tj.
klas struktur o ustalonym słownictwie takich, że struktura należy do klasy wtedy i tylko wtedy, gdy należy do niej każda skończenie wygenerowana podstruktura. Następnie wyprowadzamy z założenia o liczbie modeli istnienie (prawie) dobrej ramy. Pojęcie ramy jest naturalnym uogólnieniem pojęcia superstabilności pierwszego rzędu na ten kontekst.
Założenie mówi, że słaba GCH zachodzi dla kardynalnego $\lambda$, jego następnika i podwójnego następnika, a klasa jest kategoryczna w dwóch pierwszych przypadkach i ma wartość pośrednią dla liczby modeli w trzecim przypadku. W szczególności, możemy wywnioskować z tego argumentu istnienie modelu w następnym kardynale. Na koniec zajmujemy się niestrukturalną częścią tematu, czyli otrzymywaniem wielu nieizomorficznych modeli w podwójnym następniku $ \ lambda$ przy odpowiednich założeniach, zajmujemy się również samymi prawie dobrymi ramami i pewną istotną teorią zbiorów.
