Partial Differential Equations
Jest to poprawiona i rozszerzona wersja mojego podstawowego wprowadzenia do równań różniczkowych cząstkowych z 1995 roku. Materiał jest zasadniczo taki sam, z wyjątkiem trzech nowych rozdziałów.
Pierwszy z nich (rozdział 8) dotyczy równań nieliniowych pierwszego rzędu, a w szczególności równań Hamiltona-Jacobiego. Opiera się on na ciągłej idei, że PDE, choć są gałęzią analizy matematycznej, są ściśle związane z modelami zjawisk fizycznych. Taka podstawowa fizyka z kolei dostarcza idei rozwiązywalności.
Wariacyjne podejście Hopfa do problemu Cauchy'ego dla równań Hamiltona-Jacobiego jest jednym z najwyraźniejszych i najbardziej wnikliwych przykładów takiej interakcji.
Metoda ta jest doskonałym połączeniem mechaniki klasycznej, poprzez rolę i własności Lagrangianu i Hamiltonianu, oraz rachunku wariacyjnego. Delikatną kwestią jest identyfikacja "klas unikalności".
"Podjęto próbę wyodrębnienia warunków geometrycznych na wykresie rozwiązań, takich jak quasi-wklęsłość, aby zachować wyjątkowość. Rozdział 9 jest wprowadzeniem do słabych sformułowań, przestrzeni Sobolewa i bezpośrednich metod wariacyjnych dla równań liniowych i quasi-liniowo-areliptycznych. Choć zwięzły, materiał dotyczący przestrzeni Sobolewa jest dość kompletny, przynajmniej dla użytkownika PDE.
Obejmuje on wszystkie podstawowe twierdzenia, w tym ich dowody, oraz teorię śladów. Słabe sformułowania problemów Dirichleta i Neumanna opierają się na tym materiale. Pokrewne metody wariacyjne i Galerkina, jak również problemy wartości własnych, są przedstawione w ich słabych ramach.
