Zewnętrzne systemy różnicowe

Opinie czytelników

Obecnie brak opinii czytelników. Ocena opiera się na 2 głosach.

Oryginalny tytuł:

Exterior Differential Systems

Zawartość książki:

Niniejsza książka zawiera omówienie zewnętrznych układów różniczkowych. Obejmuje ona zarówno ogólną teorię, jak i różne zastosowania.

Zewnętrzny układ różniczkowy jest układem równań na rozmaitości zdefiniowanym przez zrównanie do zera pewnej liczby zewnętrznych form różniczkowych. Gdy wszystkie formy są liniowe, układ taki nazywany jest układem pfaffianowskim. Naszym celem jest zbadanie jego rozmaitości całkowych, tj.

podrozmaitości spełniających wszystkie równania układu. Fundamentalnym faktem jest to, że każde równanie implikuje równanie otrzymane przez różniczkowanie zewnętrzne, tak więc kompletny zbiór równań związanych z zewnętrznym układem różniczkowym stanowi ideał różniczkowy w algebrze wszystkich form gładkich. Teoria ta jest zatem wolna od współrzędnych, a obliczenia mają zazwyczaj charakter algebraiczny.

Jednakże, nawet gdy współrzędne są używane w etapach pośrednich, użycie algebry zewnętrznej pomaga efektywnie kierować obliczeniami, a w konsekwencji leczenie dobrze dostosowuje się do problemów geometrycznych i fizycznych. Układ równań różniczkowych cząstkowych, z dowolną liczbą zmiennych niezależnych i zależnych oraz z pochodnymi cząstkowymi dowolnego rzędu, można zapisać jako układ różniczkowy zewnętrzny. W tym przypadku interesują nas rozmaitości całkowalne, na których pewne współrzędne pozostają niezależne.

Odpowiednim pojęciem w zewnętrznych układach różniczkowych jest warunek niezależności: pewne formy parafrazowe pozostają liniowo niezależne. Równania różniczkowe cząstkowe i zewnętrzne układy różniczkowe z warunkiem niezależności są zasadniczo tym samym obiektem.