Principles of Locally Conformally Khler Geometry
Niniejsza monografia wprowadza czytelników w geometrię lokalnie konforemną Kählera (LCK) i zawiera obszerny przegląd najbardziej aktualnych wyników. Geometria LCK, szybko rozwijająca się dziedzina geometrii zespolonej zajmująca się rozmaitościami nie-Kählera, ma silne powiązania z wieloma innymi dziedzinami matematyki, w tym z geometrią algebraiczną, topologią i analizą zespoloną. Autorzy podkreślają te powiązania, aby stworzyć ujednolicone i rygorystyczne podejście do tematu odpowiednie zarówno dla studentów, jak i badaczy.
Część I buduje niezbędne podstawy dla tych, którzy podchodzą do geometrii LCK po raz pierwszy, z pełnymi, w większości samodzielnymi dowodami, a także obejmuje materiał często pomijany w podręcznikach, taki jak geometria kontaktowa i sasakowska, orbifoldy, połączenia Ehresmanna i teoria foliacji. Bardziej zaawansowane tematy są następnie omówione w części II, w tym eliptyczne powierzchnie nie-Kählera, kohomologia holomorficznych wiązek wektorowych na rozmaitościach Hopfa, przestrzenie Kuranishiego i Teichmüllera dla rozmaitości LCK z potencjałem oraz formy harmoniczne na rozmaitościach Sasakiana i Vaismana. Każdy rozdział w częściach I i II rozpoczyna się od motywacji i kontekstu historycznego dla badanych tematów i zawiera liczne ćwiczenia umożliwiające dalsze zgłębianie ważnych tematów.
Część III zawiera przegląd aktualnych badań nad geometrią LCK, opisując postępy w takich tematach jak grupy automorfizmów na rozmaitościach LCK, skręcone działania Hamiltona i redukcja LCK, rozmaitości Einsteina-Weyl'a i niezmiennik Futaki oraz geometria LCK na nilmanifolds i solvmanifolds. Nowe dowody wielu wyników są podane przy użyciu metod opracowanych wcześniej w tekście. Tekst kończy się rozdziałem, w którym zebrano ponad 100 otwartych problemów, wraz z kontekstem i uwagami podanymi tam, gdzie to możliwe, w celu zainspirowania przyszłych badań.