Introduction to Stochastic Processes
Celem tej książki jest wprowadzenie elementów procesów stochastycznych w dość zwięzły sposób, w którym przedstawiamy dwie najważniejsze części - łańcuchy Markowa i analizę stochastyczną. Czytelnicy są prowadzeni bezpośrednio do rdzenia głównych tematów, które będą traktowane w kontekście.
Dalsze szczegóły i dodatkowe materiały są pozostawione w sekcji zawierającej liczne ćwiczenia do dalszego czytania i studiowania. W części poświęconej łańcuchom Markowa nacisk położono na ergodyczność. Korzystając z metody minimalnego nieujemnego rozwiązania, zajmujemy się rekurencją i różnymi rodzajami ergodyczności.
Odbywa się to krok po kroku, od skończonych przestrzeni stanów do denumerowalnych przestrzeni stanów oraz od czasu dyskretnego do czasu ciągłego.
Metody dowodzenia wykorzystują nowoczesne techniki, takie jak metody sprzężenia i dualności. Uwzględniono kilka bardzo nowych wyników, takich jak oszacowanie luki spektralnej.
Struktura i dowody w pierwszej części różnią się raczej od innych istniejących podręczników dotyczących łańcuchów Markowa. W części poświęconej analizie stochastycznej omawiamy teorię martyngałów i ruchów Browna, całki stochastyczne i stochastyczne równania różniczkowe z naciskiem na jeden wymiar oraz wielowymiarowe całki stochastyczne i równania stochastyczne oparte na semimartyngałach. Wprowadzamy tu trzy ważne tematy: wzór Feynmana-Kaca, losową transformatę czasową i transformatę Girsanowa.
Jako istotne zastosowanie teorii prawdopodobieństwa w matematyce klasycznej, zajmujemy się również słynną nierównością Brunna-Minkowskiego w geometrii wypukłej. Książka ta zawiera również nowoczesną teorię prawdopodobieństwa, która jest wykorzystywana w różnych dziedzinach, takich jak MCMC, a nawet w dziedzinach deterministycznych: geometrii wypukłej i teorii liczb. Zapewnia ona nową i bezpośrednią procedurę dla studentów przechodzących przez klasyczne łańcuchy Markowa do nowoczesnej analizy stochastycznej.