Teoria spektralna operatorów w przestrzeni Hilberta

Oryginalny tytuł:

Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space

Zawartość książki:

Celem niniejszych wykładów jest wprowadzenie do analizy spektralnej operatorów samosprzężonych w ramach teorii przestrzeni Hilberta. Przewodnim pojęciem w tym podejściu jest pojęcie reprezentacji spektralnej.

Jednocześnie podkreślane jest pojęcie funkcji operatora. Definicja przestrzeni Hilberta: W matematyce przestrzeń Hilberta jest rzeczywistą lub złożoną przestrzenią wektorową z dodatnio-nieskończoną formą hermitowską, która jest kompletna pod jej normą. Jest to zatem przestrzeń iloczynu wewnętrznego, co oznacza, że ma pojęcia odległości i kąta (w szczególności pojęcie ortogonalności lub prostopadłości).

Wymóg kompletności zapewnia, że dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta granice istnieją wtedy, gdy są oczekiwane, co ułatwia różne definicje z rachunku różniczkowego. Typowym przykładem przestrzeni Hilberta jest przestrzeń kwadratowych sumowalnych ciągów.

Przestrzenie Hilberta umożliwiają stosowanie prostych pojęć geometrycznych, takich jak rzutowanie i zmiana podstawy, do nieskończenie wymiarowych przestrzeni, takich jak przestrzenie funkcyjne. Zapewniają one kontekst, w którym można sformalizować i uogólnić pojęcia szeregu Fouriera w kategoriach arbitralnych wielomianów ortogonalnych oraz transformaty Fouriera, które są głównymi pojęciami analizy funkcjonalnej.

Przestrzenie Hilberta mają kluczowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.