Teoria liczb skwantowanych, ciągi fraktalne i hipoteza Riemanna: Od operatorów spektralnych do przejść fazowych i uniwersalności

Oryginalny tytuł:

Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality

Zawartość książki:

Badanie związków między geometrią, arytmetyką i widmami fraktali jest przedmiotem dużego zainteresowania współczesnej matematyki. Niniejsza książka wnosi wkład do literatury przedmiotu na kilka różnych i nowych sposobów. W szczególności autorzy przedstawiają rygorystyczne i szczegółowe badanie operatora spektralnego, mapy, która przenosi geometrię ciągów fraktalnych na ich widmo. W tym celu wykorzystują i rozwijają metody z geometrii fraktalnej, analizy funkcjonalnej, analizy zespolonej, teorii operatorów, równań różniczkowych cząstkowych, analitycznej teorii liczb i fizyki matematycznej. Pierwotnie M. L. Lapidus i M. van Frankenhuijsen "heurystycznie" wprowadzili operator spektralny w swoim rozwoju teorii ciągów fraktalnych i ich złożonych wymiarów, w szczególności w swojej reinterpretacji wcześniejszych prac M. L. Lapidusa i H. Maiera dotyczących odwrotnych problemów spektralnych dla ciągów fraktalnych i hipotezy Riemanna. Jednym z głównych tematów książki jest zapewnienie rygorystycznych ram, w których odpowiadające pytanie "Czy można usłyszeć kształt struny fraktalnej? ' lub, równoważnie, "Czy można uzyskać informacje o geometrii ciągu fraktalnego, biorąc pod uwagę jego widmo?". ' może być dalej przeformułowane w kategoriach odwracalności lub quasi-odwracalności operatora spektralnego.

Nieskończenie małe przesunięcie linii rzeczywistej jest najpierw precyzyjnie zdefiniowane jako operator różniczkowania na rodzinie odpowiednio ważonych przestrzeni Hilberta funkcji na linii rzeczywistej i indeksowane przez parametr wymiarowy c. Następnie operator spektralny jest definiowany za pomocą rachunku funkcjonalnego jako funkcja nieskończenie małego przesunięcia. W ten sposób jest on postrzegany jako naturalny "kwantowy" analog funkcji zeta Riemanna. Dokładniej, w tych ramach operator spektralny jest zdefiniowany jako złożona mapa funkcji Riemanna zeta z nieskończenie małym przesunięciem, postrzegana jako nieograniczony operator normalny działający na powyższej przestrzeni Hilberta. Pokazano, że quasi-niezmienniczość operatora spektralnego jest ściśle związana z istnieniem zer krytycznych funkcji zeta Riemanna, co prowadzi do nowego spektralnego i operatorowo-teoretycznego przeformułowania hipotezy Riemanna. W związku z tym operator spektralny jest quasi-odwracalny dla wszystkich wartości parametru wymiarowego c w przedziale krytycznym (0,1) (innym niż w przypadku midfraktalnym, gdy c = 1/2) wtedy i tylko wtedy, gdy hipoteza Riemanna (RH) jest prawdziwa. Pokrewne, ale pozornie zupełnie inne, przeformułowanie RH, należące do drugiego autora i określane jako "asymetryczne kryterium RH", jest również omówione szczegółowo: mianowicie operator widmowy jest odwracalny dla wszystkich wartości c w lewym przedziale krytycznym (0,1/2) wtedy i tylko wtedy, gdy RH jest prawdziwe.

Te spektralne przeformułowania RH doprowadziły również do odkrycia kilku "matematycznych przejść fazowych" w tym kontekście, dla kształtu widma, odwracalności, ograniczoności lub nieograniczoności operatora spektralnego, i występujących albo w przypadku średniofraktalnym, albo w przypadku najbardziej fraktalnym, gdy bazowy wymiar fraktalny jest równy odpowiednio 1/2 lub 1. W szczególności, środkowy wymiar fraktalny c=1/2 odgrywa rolę parametru krytycznego w kwantowej fizyce statystycznej oraz teorii przejść fazowych i zjawisk krytycznych. Ponadto autorzy przedstawiają "kwantowy odpowiednik" klasycznego twierdzenia Woronina o uniwersalności funkcji zeta Riemanna. Co więcej, otrzymują i badają skwantowane odpowiedniki szeregu Dirichleta i iloczynu Eulera dla funkcji zeta Riemanna, które okazują się zbieżne (w odpowiednim sensie) nawet wewnątrz paska krytycznego. Ze względów pedagogicznych większość książki poświęcona jest badaniu skwantowanej funkcji zeta Riemanna. Oczekuje się jednak, że wyniki uzyskane w tej monografii doprowadzą do kwantyzacji większości klasycznych arytmetycznych funkcji zeta, a tym samym do dalszej "naturalnej kwantyzacji" różnych aspektów analitycznej teorii liczb i geometrii arytmetycznej.

Książka powinna być dostępna zarówno dla ekspertów, jak i osób niebędących ekspertami, w tym studentów i doktorantów matematyki i fizyki, zainteresowanych geometrią fraktalną, teorią liczb, teorią operatorów i analizą funkcjonalną, równaniami różniczkowymi, analizą zespoloną, teorią spektralną, a także fizyką matematyczną i teoretyczną. Tam, gdzie jest to konieczne, podane jest odpowiednie tło dotyczące różnych zaangażowanych tematów, a nowa praca jest umieszczona we właściwym kontekście historycznym. Dołączono również kilka dodatków uzupełniających główny tekst.