Ocena:
Obecnie brak opinii czytelników. Ocena opiera się na 2 głosach.
Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151
Książka ma służyć dwóm celom. Pierwszym i bardziej oczywistym jest przedstawienie aktualnych wyników badań algebraicznych nad strukturami rezydualnymi związanymi z logikami substrukturalnymi. Drugim, mniej oczywistym, ale równie ważnym, jest zapewnienie w miarę łagodnego wprowadzenia do logiki algebraicznej. Na początku dominuje ten drugi cel. Tak więc w pierwszych kilku rozdziałach czytelnik znajdzie elementarz algebry uniwersalnej dla logików, przyspieszony kurs logik nieklasycznych dla algebraistów, wprowadzenie do struktur rezydualnych, zarys rachunków w stylu Gentzena, a także kilka ciekawostek z teorii dowodu - między innymi słynny Hauptsatz, czyli twierdzenie o eliminacji cięć. Prowadzi to naturalnie do dyskusji na temat wzajemnych powiązań między logiką i algebrą, w której staramy się pokazać, w jaki sposób stanowią one dwie strony tego samego medalu. Przewidujemy, że początkowe rozdziały mogą być wykorzystane jako podręcznik do kursu dla absolwentów, być może zatytułowanego Algebra i logika substrukturalna.
Wraz z postępem książki pierwszy cel zyskuje przewagę nad drugim. Chociaż dokładny punkt równowagi byłby trudny do określenia, można bezpiecznie powiedzieć, że wkraczamy w część techniczną wraz z omówieniem różnych uzupełnień struktur rezydualnych. Obejmują one uzupełnienia Dedekinda-McNeille'a i rozszerzenia kanoniczne. Uzupełnienia są później wykorzystywane do badania kilku własności skończoności, takich jak własność modelu skończonego, generowanie rozmaitości przez ich skończone człony i skończona osadzalność. Analiza algebraiczna eliminacji cięć, która następuje później, również odwołuje się do uzupełnień. Rozstrzygalność logik, teorii równościowych i quasi-równościowych jest następna, gdzie pokazujemy, że metody teoretyczne dowodu, takie jak eliminacja cięć, są lepsze dla małych logik/teorii, ale narzędzia semantyczne, takie jak twierdzenie Rabina, działają lepiej dla dużych. Następnie przechodzimy do twierdzenia Glivenko, które mówi, że formuła jest tautologią intuicjonistyczną wtedy i tylko wtedy, gdy jej podwójna negacja jest tautologią klasyczną. Uogólniamy to twierdzenie na logikę substrukturalną, identyfikując dla każdej logiki substrukturalnej jej klasę równoważności Glivenki z najmniejszym i największym elementem. W tym miejscu zaczynamy również badać siatki logik i odmian, a nie konkretne przykłady. Kontynuujemy ten wątek przedstawiając szereg wyników dotyczących minimalnych odmian/maksymalnych logik.
Typowe twierdzenie mówi, że dla pewnej znanej rozmaitości jej siatka podrozmaitości ma dokładnie taką a taką liczbę minimalnych członów (gdzie wartości takie a takie obejmują między innymi continuum, policzalnie wiele i dwa). W ostatnich dwóch rozdziałach skupiamy się na sieci odmian odpowiadających logikom bez kontrakcji. W jednym dowodzimy negatywnego wyniku: że nie ma nietrywialnych rozszczepień w tej rozmaitości. W drugim dowodzimy wyniku pozytywnego: że rozmaitości półpuste pokrywają się z rozmaitościami dyskryminacyjnymi.
W drugiej, bardziej technicznej części książki można prześledzić inny proces przejścia. Mianowicie, zaczynamy od logicznie nachylonych zagadnień technicznych, a kończymy na algebraicznie nachylonych. Tutaj, być może, algebraiczna interpretacja twierdzeń Glivenki wyznacza punkt równowagi, przynajmniej w tym sensie, że własności skończoności, rozstrzygalność i twierdzenia Glivenki są wyraźnie interesujące dla logików, podczas gdy semisimplicity i discriminator varieties są uniwersalną algebrą par exellence. Do czytelnika należy ocena, czy udało nam się spleść te wątki w jednolitą tkaninę.
