Pierwotne przypuszczenie Artinsa

Oryginalny tytuł:

Artins Primitive Root Conjecture

Zawartość książki:

Książka ta bada różne podejścia do bezwarunkowego udowodnienia przypuszczenia Artina o „prymitywnym korzeniu” i jego analogu dla krzywych eliptycznych. Przypuszczenie to zostało postawione przez E.

Artina w 1927 roku i nadal pozostaje otwartym problemem. W 1967 roku C. Hooley udowodnił to przypuszczenie w oparciu o założenie uogólnionej hipotezy Riemanna.

Następnie matematycy próbowali pozbyć się tego założenia i wydawało się to dość trudnym zadaniem.

Jak dotąd najlepsze wyniki uzyskali R. Gupta i M.

Ram Murty (1983) oraz D. R. Heath-Brown (1986).

Wynika z nich, że może istnieć co najwyżej 12 wyjątkowych liczb całkowitych lub co najwyżej 2 wyjątkowe liczby pierwsze, dla których przypuszczenie nie jest prawdziwe. Jednak pytanie „Które z nich? ', pozostaje nieuchwytne. Pierwsza część tej książki omawia wyniki teorii sit autorstwa Gupty-Murty'ego i Heatha-Browna.

W drugiej części omówiono analogiczne twierdzenie dla krzywych eliptycznych, które zostało zaproponowane przez Langa i Trottera w 1977 roku i udowodnione przez Guptę i Murty'ego w 1986 roku, przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna, dla krzywych ze złożonym mnożeniem. Te dyskusje pomogą czytelnikowi uzyskać szeroką perspektywę na temat domniemania i obecnych postępów.