Niekompletność w krainie zbiorów

Opinie czytelników

Książka o twierdzeniu Goedla jest chwalona za doskonałe potraktowanie tematu i jego powiązań z paradoksem Russella. Jednak niektórzy czytelnicy uważają, że brakuje jej szczegółów i głębi, co sugeruje, że wymaga ona dodatkowego tekstu dla pełnego zrozumienia.

Doskonałe potraktowanie twierdzenia Goedla, intrygująca prezentacja, silne powiązania z klasycznymi koncepcjami, przyjemne dla osób zainteresowanych logiką i matematyką.

Zbyt dużo machania rękami, brak szczegółowych wyjaśnień, nieformalne użycie pojęć semantycznych może utrudniać zrozumienie, może wymagać materiałów uzupełniających.

(na podstawie 3 opinii czytelników)

Oryginalny tytuł:

Incompleteness in the Land of Sets

Zawartość książki:

Paradoks Russella pojawia się, gdy rozważamy zbiory, które nie należą do siebie. Zbiór takich zbiorów nie może stanowić zbioru.

Cofnijmy się nieco. Formuły logiczne definiują zbiory (w standardowym modelu). Formuły, będące obiektami matematycznymi, mogą być traktowane jako zbiory same w sobie - matematyka sprowadza się do teorii zbiorów.

Rozważmy te formuły, które nie należą do zbioru, który definiują.

Zbiór takich formuł nie jest definiowalny przez formułę, za pomocą tego samego argumentu, którego użył Russell. Szybko daje to wynik Tarskiego dotyczący niedefiniowalności prawdy.

Wariacje na temat tego samego pomysłu dają słynne wyniki Godela, Churcha, Rossera i Posta. Niniejsza książka zawiera pełną prezentację podstawowych twierdzeń o niezupełności i nierozstrzygalności logiki matematycznej w ramach teorii mnogości. Odpowiednie wyniki dla arytmetyki wynikają łatwo i są również podane.

Na ogół unika się numeracji Godela, z wyjątkiem sytuacji, gdy istnieje wyraźny związek między teorią mnogości a arytmetyką. Książka zakłada niewielkie przygotowanie techniczne czytelnika. Potrzebne są zdolności matematyczne, ogólna znajomość logiki formalnej i zrozumienie twierdzenia o zupełności, choć nie jego dowodu.

Wszystko inne jest rozwinięte i formalnie udowodnione, od twierdzenia Tarskiego do drugiego twierdzenia Godela o niezupełności. Ćwiczenia są rozproszone po całej książce.