Macierze losowe i prawdopodobieństwo niekomutatywne

Oryginalny tytuł:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Zawartość książki:

Jest to książka wprowadzająca w zagadnienia prawdopodobieństwa niekomutatywnego lub prawdopodobieństwa swobodnego i wielowymiarowych macierzy losowych. Podstawowe pojęcia prawdopodobieństwa swobodnego są wprowadzane przez analogię do prawdopodobieństwa klasycznego w przejrzysty i szybki sposób. Następnie rozwija wyniki dotyczące zbieżności wielowymiarowych macierzy losowych, ze szczególnym uwzględnieniem interesujących powiązań z prawdopodobieństwem swobodnym. Książka nie zakłada prawie żadnych warunków wstępnych. Jednak znajomość podstawowych pojęć zbieżności w rachunku prawdopodobieństwa i odrobina matematycznej dojrzałości będą pomocne.

⬤ Kombinatoryczne własności nie przecinających się partycji, w tym funkcja Mbiusa, odgrywają kluczową rolę we wprowadzaniu prawdopodobieństwa swobodnego.

⬤ Wolna niezależność jest definiowana poprzez wolne kumulanty analogicznie do sposobu, w jaki klasyczna niezależność może być definiowana poprzez klasyczne kumulanty.

⬤ Wolne kumulanty są wprowadzane za pomocą funkcji Mbiusa.

⬤ Wolne iloczynowe przestrzenie prawdopodobieństwa są konstruowane przy użyciu wolnych kumulantów.

⬤ Omówiono zbieżność marginalną i łączną macierzy losowych o dużych wymiarach, takich jak macierze Wignera, eliptyczne, kowariancji próbkowej, kowariancji krzyżowej, Toeplitza, Circulanta i Hankela.

⬤ Omówiono zbieżność empirycznego rozkładu widmowego dla macierzy symetrycznych.

⬤ Szczegółowo omówiono wyniki asymptotycznej beztroski dla macierzy losowych, w tym kilka najnowszych. Wyjaśniają one strukturę granic wspólnej zbieżności macierzy losowych.

⬤ Wykazano również asymptotyczną beztroskę macierzy kowariancji niezależnych próbek poprzez osadzenie w macierzach Wignera.

⬤ W każdym rozdziale znajdują się ćwiczenia na poziomie zaawansowanych studiów licencjackich i magisterskich.