The Logic of Number
W książce The Logic of Number Neil Tennant definiuje i rozwija swoją naturalną logikę podstaw liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych. W oparciu o system logiczny free Core Logic, centralną metodą jest sformułowanie reguł naturalnej dedukcji rządzących operatorami abstrakcji liczb wiążącymi zmienne i innymi wyrażeniami logiczno-matematycznymi, takimi jak zero i następnik. Umożliwiają one abstrakcję "jednotaktową", w przeciwieństwie do abstrakcji "dwutaktowej" realizowanej przez zasady takie jak V prawo podstawowe Fregego lub zasada Hume'a.
Naturalny logicyzm narzuca swojemu opisowi liczb cztery warunki adekwatności: Po pierwsze, należy pokazać, w jaki sposób różne rodzaje liczb mają zastosowanie w naszej szerszej myśli i rozmowie o świecie. Osiąga się to poprzez wyprowadzenie wszystkich instancji trzech odpowiednich schematów: Schematu N dla liczb naturalnych, Schematu Q dla liczb wymiernych i Schematu R dla liczb rzeczywistych. Zapewniają one warunki prawdziwości dla stwierdzeń wykorzystujących terminy odnoszące się do liczb danego rodzaju. Po drugie, należy pokazać, jak to się dzieje, że liczby naturalne znajdują się wśród liczb wymiernych jako one same, a liczby wymierne podobnie wśród liczb rzeczywistych. Po trzecie, należy ujawnić wystarczająco dużo metafizycznej natury liczb, aby móc wyprowadzić podstawowe prawa matematyki, które nimi rządzą. Po czwarte, należy być w stanie wykazać, że istnieje niepoliczalnie wiele liczb rzeczywistych.
Naturalny logicyzm jest realistyczny, jeśli chodzi o granice logicyzmu, jeśli chodzi o traktowanie liczb rzeczywistych, dla których, jak argumentuje Tennant, trzeba odwołać się do intuicji geometrycznej dla głębszych punktów wyjścia, poza którymi sama logika dostarczy pożądanych rezultatów, z absolutnym rygorem formalnym. Wynikający z tego program pozwala w pryncypialny sposób rozgraniczyć te części teorii liczb, które są wytwarzane wyłącznie przez kantowskie rozumienie, oraz te części, które zależą od odwołania się do (bardzo prostych) apriorycznych intuicji geometrycznych.
