Interpolation in Conformal Geometric Algebra
Niniejsza rozprawa pokazuje, w jaki sposób model konforemny w algebrze geometrycznej jest w stanie opisać geometrię euklidesową.
Ponieważ przekształcenia w tym modelu zachowują strukturę, algebra ta jest w stanie traktować ruchy w ujednolicony sposób. Poszukując ogólnej metody interpolacji przekształceń, skupiamy się na wyznaczaniu ich logarytmów.
Najpierw przyjrzymy się, w jaki sposób można oszacować szereg Taylora dla przekształceń w tej algebrze. Wadą jest to, że w celu uzyskania dokładnych wyników należy oszacować nieskończone szeregi. W związku z tym przedstawiamy również nasze uogólnione twierdzenie Chaslesa, które klasycznie uwzględnia tylko obroty i translacje, aby zdekomponować ruchy w taki sposób, aby można je było interpolować, mając wyrażenie w postaci zamkniętej.
Zaproponowana metoda z powodzeniem opisuje logarytmy pewnych kompozycji podstawowych przekształceń, ale nie jest w stanie uzyskać ogólnego logarytmu przekształcenia konforemnego. Poszukując takiego ogólnego logarytmu, zbadaliśmy wiele potencjalnie użytecznych właściwości i reprezentacji, podsumowanych w dodatkach.