Geometria grupy dyfeomorfizmów symplektycznych

Oryginalny tytuł:

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism

Zawartość książki:

Grupa hamiltonowskich dyfeomorfizmów Ham(M, 0) symplektycznej mani- fałdy (M, 0) odgrywa fundamentalną rolę zarówno w geometrii, jak i mechanice klasycznej. Dla geometrów, przynajmniej przy pewnych założeniach dotyczących rozmaitości M, jest to po prostu połączona składowa tożsamości w grupie wszystkich symplektycznych dyfeomorfizmów.

Z punktu widzenia mechaniki, Ham(M, O) jest grupą wszystkich dopuszczalnych ruchów. Jaka jest minimalna ilość energii wymagana do wygenerowania danego hamiltonowskiego dyfeomorfizmu I? Próba sformalizowania i odpowiedzi na to naturalne pytanie doprowadziła H. Hofera HI (1990) do niezwykłego odkrycia.

Okazuje się, że rozwiązanie tego problemu wariacyjnego można zinterpretować jako wielkość geometryczną, a mianowicie jako odległość między I a przekształceniem tożsamościowym. Co więcej, odległość ta jest związana z kanoniczną dwuwartościową metryką na Ham(M, 0).

Od czasu pracy Hofera ta nowa metryka jest intensywnie badana w ramach nowoczesnej topologii symplektycznej. W niniejszej książce opiszę niektóre z tych badań.

Geometria Hofera pozwala nam badać różne pojęcia i problemy, które pochodzą ze znanej geometrii skończonego wymiaru w kontekście grupy hamiltonowskich dyfeomorfizmów. Okazują się one bardzo różne od zwykłego kręgu problemów rozważanych w topologii symplektycznej i tym samym znacznie rozszerzają naszą wizję świata symplektycznego.