An Elementary Treatise on Differential Equations
AN ELEMENTARY TREATISE ON DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS by H. T. H. PIAGGIO, M. A., D. Sc. PROFESSOR OF MATHEMATICS, UNIVERSITY COLLEGE, NOTTINGHAM SENIOR SCHOLAR OF ST. JOHNS COLLEGE, CAMBRIDGE LONDON G. BELL AND SONS, LTD, 1949 First published May 1920. Reprinted 1921, 1924, 1925, 1926 Revised and Enlarged Edition 1922 reprinted 1929, 1931, 1933, 1937, 1959, 1940, 1911, 1942, 1943, 1944, 1945, 1946, 1949. DRUKOWANE W WIELKIEJ BRYTANII PRZEZ ROBERT MACLKHOSE AND CO. LTD. THE UNIVERSITY PRESS, GLASGOW. PRZEDMOWA Teoria równań różniczkowych, powiedział Sophus Lie, jest najważniejszą gałęzią współczesnej matematyki. Temat ten można uznać za zajmujący centralną pozycję, z której różne linie rozwoju rozciągają się w wielu kierunkach. Jeśli podążymy ścieżką czysto analityczną, szybko dojdziemy do omówienia nieskończonych szeregów, twierdzeń o istnieniu i teorii funkcji. Inna prowadzi nas do geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni. Pomiędzy nimi znajduje się ścieżka odkryta po raz pierwszy przez Lie, prowadząca do ciągłych grup przekształceń i ich geometrycznej interpretacji. Podążając w innym kierunku, dochodzimy do badania wszelkiego rodzaju drgań mechanicznych i elektrycznych oraz ważnego zjawiska rezonansu. Pewne równania różniczkowe cząstkowe stanowią punkt wyjścia do badania przewodzenia ciepła, transmisji fal elektrycznych i wielu innych gałęzi fizyki.
Chemia fizyczna, z jej prawem oddziaływania masy, jest w dużej mierze związana z pewnymi równaniami różniczkowymi. Celem tej książki jest przedstawienie głównych części tematu w możliwie najprostszej formie, odpowiedniej dla osób nieposiadających wcześniejszej wiedzy na ten temat, a jednocześnie wskazanie różnych kierunków, w których można go rozwijać. Większa część tekstu i przykłady w jego treści będą bardzo łatwe. Jedyną wymaganą wcześniej wiedzą są elementy rachunku różniczkowego i całkowego oraz odrobina geometrii współrzędnych. Różne przykłady na końcu różnych rozdziałów są nieco trudniejsze. Zawierają one kilka twierdzeń o mniejszym znaczeniu, ze wskazówkami, które powinny być wystarczające, aby umożliwić studentowi ich rozwiązanie. Zawierają również zastosowania geometryczne i fizyczne, ale dołożono wszelkich starań, aby sformułować pytania w taki sposób, aby nie była wymagana znajomość fizyki. Na przykład jedno z pytań wymaga rozwiązania pewnego równania różniczkowego cząstkowego w postaci pewnych stałych i zmiennych. Można to uznać za kawałek czystej matematyki, ale zaraz po nim następuje uwaga wskazująca, że praca odnosi się do dobrze znanego eksperymentu z ciepłem i podająca fizyczne znaczenie danych stałych i zmiennych.
Wreszcie, na końcu książki znajduje się zestaw 115 przykładów o znacznie większym stopniu trudności, z których większość pochodzi z egzaminów uniwersyteckich. Muszę podziękować uniwersytetom w Londynie, Sheffield i Walii oraz Syndykom Cambridge University Press za ich uprzejmą misję i pozwolenie na ich wykorzystanie. Książka obejmuje kurs równań różniczkowych wymagany dla London B. Sc. Honours lub Schedule A Cambridge Mathematical Tripos, część II, a także zawiera część pracy wymaganej dla London M. Sc. lub Schedule B Mathematical Tripos. Dodatek zawiera sugestie dotyczące dalszej lektury. Liczba przykładów, zarówno opracowanych, jak i nieopracowanych, jest bardzo duża, a odpowiedzi na nieopracowane są podane na końcu książki. Można wspomnieć o kilku szczególnych punktach. Metoda graficzna w rozdziale I. oparta na MS. uprzejmie użyczonym mi przez dr Brodetsky'ego referatu, który przeczytał przed Stowarzyszeniem Matematycznym, oraz na nieco podobnym artykule prof. Takeo Wady, nie pojawiła się wcześniej w żadnym podręczniku. Rozdział poświęcony całkowaniu numerycznemu omawia ten temat bardziej szczegółowo niż zwykle...